Cours d'Automatique - Chapitre 1 - PDF

EST de Safi – Cours d’Automatique – Mme O.IKHOUANE – 2018-19 1 CHAPITRE 1 INTRODUCTION AUX SYSTEMES ASSERVIS 1 – NOTIONS DE SYSTEMES ASSERVIS (S.A) 1.1 – Définitions Automatique : science et technique de l'automatisation, qui étudient les métho...

EST de Safi – Cours d’Automatique – Mme O.IKHOUANE – 2018-19 1 CHAPITRE 1 INTRODUCTION AUX SYSTEMES ASSERVIS 1 – NOTIONS DE SYSTEMES ASSERVIS (S.A) 1.1 – Définitions Automatique : science et technique de l'automatisation, qui étudient les méthodes et les moyens technologiques utilisés pour la conception et la construction de systèmes automatiques Automatisme : dispositif technologique qui remplace l’opérateur humain dans la conduite d’une machine, d’un processus ou d’une installation industrielle Automatisation : exécution automatique de tâches industrielles, administratives ou scientifiques sans intervention humaine En d’autres termes, l'Automatique a donc pour objet de remplacer l'homme dans la plupart des tâches qu'il réalise dans tous les domaines : tâches répétitives, pénibles ou dangereuses, tâches trop précises, tâches trop rapides. Il existe deux grandes familles d’automatismes :  ceux dont le principe est de travailler selon les principes de l’Algèbre de Boole quelque soit le temps ; ce sont les systèmes logiques ou systèmes tout ou rien (machine à laver, ascenseur, distributeur de boissons, feux de croisement, etc.),  ceux dont le principe est de travailler de manière continue dans le temps ; ce sont les systèmes asservis (lecteur de DVD, robot de soudure ou de peinture, direction assistée d’automobiles, pilote automatique d’un avion ou d’un navire, suivi de trajectoire d’un avion ou d’un missile, etc.). 1.2 – Systèmes asservis Un système se caractérise par ses grandeurs d’entrée et de sortie. Les grandeurs d’entrée sont les grandeurs qui agissent sur le système. Il en existe de deux types :  les entrées de commande, c’est à dire celles que l’on peut maîtriser,  les entrées de perturbation que l’on ne peut pas maîtriser. Un système est en boucle ouverte lorsque la commande est élaborée sans l’aide de la connaissance des grandeurs de sortie (figure 1.1). Les perturbations affectent alors les grandeurs de sortie de manière aléatoire et on n’obtient pas toujours le résultat escompté. Perturbations Entrée Sortie Actionneur Processus =commande Figure 1.1 – Système en boucle ouverte Par exemple lorsqu’on chauffe une pièce avec un radiateur, la température n’est pas uniforme dans celle-ci (fuites thermiques au niveau des portes et des fenêtres, rayons du soleil lorsqu’il fait beau, personne qui ouvre la porte pour entrer ou sortir de la pièce, etc.). A cause de EST de Safi – Cours d’Automatique – Mme O.IKHOUANE – 2018-19 2 ces perturbations, on voit donc qu’il est impossible d’avoir en permanence en sortie la valeur désirée. Un système asservi (SA) est un système bouclé c'est-à-dire qu’il possède une rétroaction de la sortie sur l’entrée (figure 1.2). La commande (ou grandeur réglante) est alors fonction de l’entrée de référence (c'est-à-dire la valeur souhaitée en sortie) et de la sortie. Pour observer la grandeur de sortie, on utilise un capteur. C’est l’information de ce capteur qui va permettre d’élaborer la commande. Grandeur Perturbations Régulateur réglante Entrée de + Grandeur C Actionneur Processus référence réglée _ Grandeur Capteur mesurée Figure 1.2 – Système en boucle fermée 1.3 – Classification des S.A 1.3.1 – Classification selon le type de l'entrée de référence Dans tout système asservi, la grandeur de sortie doit recopier le mieux possible la grandeur d’entrée. On distingue cependant deux modes de fonctionnement selon les conditions d’utilisation :  un asservissement a une entrée de référence qui évolue ou qui suit une grandeur physique indépendante du processus lui-même (radar de poursuite, asservissement de position, etc..). Cette évolution de l’entrée fait évoluer le point de fonctionnement du processus et la sortie doit suivre le mieux possible cette évolution en dépit des perturbations. On dit encore que le système fonctionne en suiveur ou en poursuite.  une régulation a une entrée de référence constante ou évoluant par paliers. Cette entrée est aussi appelée consigne (régulation de température par exemple). La sortie doit rester constante quelles que soient les perturbations. Ces distinctions ne sont pas absolues, car il faut bien voir qu’un asservissement fonctionne en régulateur lorsqu’il répond aux perturbations et, qu’inversement, le régulateur fonctionne en asservissement lorsqu’on modifie sa consigne. Toutefois, les industriels considèrent que l’aspect régulation est le plus important, car les valeurs de consigne sont le plus souvent fixes. D’une manière plus générale, on montre que si le comportement en asservissement est correct, alors le comportement en régulation l’est aussi. 1.3.2 – Classification selon le type de régulateur On distingue deux grandes classes de régulateur :  un régulateur peut être analogique ; il est réalisé avec des composants analogiques et son signal de sortie évolue de manière continue dans le temps. On obtient alors un système asservi linéaire continu.  le régulateur peut également être numérique ; il est réalisé à l'aide d'un système programmable (microprocesseur par exemple), et son signal de sortie est alors le EST de Safi – Cours d’Automatique – Mme O.IKHOUANE – 2018-19 3 résultat d'un algorithme de calcul. On obtient alors un système asservi linéaire échantillonné. 1.4 – Propriétés des systèmes linéaires continus 1.4.1 – Linéarité Un système est linéaire s’il est régi par une équation différentielle à coefficients constants : dn s dn1s ds dm e dm1e de an  a n1 ....a 1.  a 0 s  b m m  b m1 m1 ...  b 1.  b0e dt n dt n1 dt dt dt dt  le système physique existe si n  m  n s’appelle « ordre du système » 1.4.2 –Théorème de superposition Un système linéaire obéit au principe de superposition défini par les propriétés d'additivité et de proportionnalité.  Additivité : si les entrées e1(t), e2(t),..., en(t) entraînent respectivement les réponses s1(t), s2(t),..., sn(t) alors l'entrée e(t) = e1(t) + e2(t)+...+ en(t) entraîne la réponse s(t) = s1(t) + s2(t)+...+ sn(t) ; s1 s2 e1 e2 0 t 0 t S e1 e2 s1 s2 Additivité t 0 Figure 1.3 – Propriété d’additivité  Proportionnalité : si l'entrée e(t) est multipliée par un facteur k constant, alors la sortie s(t) est multipliée par ce même facteur (figure 1.4). On dit qu'il y a proportionnalité de l'effet à la cause. Remarque : l'effet de proportionnalité n'est effectif que lorsque le système a atteint sa position d'équilibre ou que le régime permanent s'est établi. EST de Safi – Cours d’Automatique – Mme O.IKHOUANE – 2018-19 4 s e 0 t S k.e k.s t 0 Figure 1.4 – Proportionnalité 1.5 – Signaux d’essais usuels Tout système dès qu’on l’excite répond d’une manière très particulière :  si on veut le maîtriser, il y a nécessité de connaître sa réaction à une excitation,  si on connaît ses réponses à des signaux simples, on peut alors en déduire son comportement général,  à partir d’un catalogue de réponses-types, on peut en déduire le modèle mathématique d’un système inconnu. En automatique comme en physique, on ne s'intéresse qu'au temps t  0 alors qu'en mathématiques, on peut définir des temps t   -, +  . Un signal défini pour t  0 et nul pour t  0 est appelé « signal causal ». Afin d'analyser le comportement d'un système, on le soumet à des entrées typiques causales permettant l'analyse de la sortie. 1.5.1 – Echelon unité u(t) La fonction échelon permet de soumettre le système à une entrée constante depuis t = 0. Il est le principal signal d'étude des systèmes continus linéaires. En particulier, les réponses des systèmes des 1er et 2ème ordres à ce signal sont parfaitement connues et permettent de caractériser et d’identifier ces systèmes. Définition : 0 si t < 0 (causalité) u(t) =  1 si t > 0 Cette fonction n'est pas définie à l'origine (t = 0) ce qu'on transcrit par u(0-) = 0 et u(0+) = 1. u K 1 1v t 0 Figure 1.5 – L’échelon unité et son image physique EST de Safi – Cours d’Automatique – Mme O.IKHOUANE – 2018-19 5 L'image physique de ce signal est l'application d'une tension à un circuit par l'intermédiaire d'un inverseur K (voir schéma ci-dessus). Remarque : un échelon peut avoir une amplitude différente de l’unité. Par exemple, si on génère un échelon de tension de 5 volts, on écrira v( t )  5.u( t ). 1.5.2 – Rampe unité r(t) 0 si t < 0 (causalité) Définition : r(t) =  soit r( t )  t.u( t ) t si t > 0 r t 0 Figure 1.6 – Rampe unité La pente de la droite exprime la vitesse de variation de la grandeur r. C'est pour cela qu'on appelle souvent la rampe unitaire échelon de vitesse. Un échelon de vitesse peut avoir une pente différente de 1. Dans ces conditions, on écrira r( t )  a.t.u( t ). 1.5.3 – Impulsion de Dirac 1 Considérons une impulsion 1(t) de largeur  et d'amplitude (comme indiqué sur le schéma ci-  dessous 1  t 0  Figure 1.7 – Impulsion d’aire unité Nous constatons que cette impulsion a une aire égale à 1 quel que soit . En effet :   1 t dt  1    dt  1  0 Si on fait tendre  vers 0, la largeur de cette impulsion tend vers 0 alors que son amplitude tend vers l'infini. A la limite, l'intégrale de cette fonction devrait être nulle, or elle ne l'est pas puisqu'elle vaut 1. (t), appelée impulsion de Dirac, n'est pas une fonction mais une « distribution ». (t) t 0 Figure 1.8 – Impulsion de Dirac L'impulsion de Dirac est dite unitaire, non parce que son amplitude est 1, mais par ce que son aire (ou son poids) est égale à 1. EST de Safi – Cours d’Automatique – Mme O.IKHOUANE – 2018-19 6 On démontre qu'une impulsion brève peut être approchée du point de vue de ses effets par une impulsion de Dirac. 1.5.4 – Signal harmonique ou sinusoïdal L’essai harmonique consiste à observer le comportement du système en réponse à un signal d’entrée sinusoïdal pour différentes valeurs de fréquence. Le signal harmonique est très employé en électronique car il permet de déterminer la réponse en fréquence d'un système (ou réponse harmonique). Il en est de même en Automatique. Exemple : e( t )  Ê sin t où Ê est la valeur maximale (valeur crête) du signal sinusoïdal. Si on applique un signal sinusoïdal à un système linéaire, on démontre que la sortie en régime permanent de ce système est aussi sinusoïdale : s( t )  Ŝ sin( t  ) où  est le déphasage entre les deux signaux. 1.5.5 – Intérêt des signaux d’essais usuels  Échelon : étude du comportement dynamique et statique  Rampe : possibilité de suivi d’une grandeur  Impulsion : détermination de l’instabilité d’un système  Signal harmonique : étude du comportement dynamique et statique 2 – TRANSFORMEE DE LAPLACE 2.1 – Définition Soit f(t) une fonction du temps, définie pour t > 0 et nulle pour t < 0. Soit p une variable complexe. On appelle transformée de Laplace (TdL) de f(t), la fonction de la variable complexe notée F(p) telle que :  F(p)  £f ( t )   e pt f ( t )dt 0 L’existence de F(p) suppose bien sûr que l’intégrale converge. Cette transformation est bijective, c'est-à-dire que la TdL d’une fonction est unique et inversement (théorème d’unicité) ; f(t) est dite transformée inverse ou originale de F(p) : f ( t )  £ 1 F(p) Le tableau en annexe donne la liste des transformées de Laplace utilisées usuellement en Automatique. 2.2 – Propriétés 2.2.1 – Linéarité Si f(t) et g(t) ont des transformées de Laplace et si a et b sont des constantes, alors : £af ( t )  aF(p) £af ( t )  bg( t )  aF(p)  bG(p) 2.2.2 – Transformée de Laplace de la dérivée Si on admet que f(t) a une limite finie lorsque t (ce qui est toujours vérifié pour les signaux utilisés en Automatique), alors on montre que : EST de Safi – Cours d’Automatique – Mme O.IKHOUANE – 2018-19 7  d2 f   df   £    pF(p)  f (0) , £ 2   p 2 F(p)  pf (0)  f ' (0)  dt     dt   dnf   £  n   pnF(p)  pn 1f (0)  pn  2f ' (0) ....  f (n 1) (0)  dt  Les f ( n ) (0) représentent les conditions initiales. Si les CI sont nulles (conditions de Heaviside), alors (et seulement dans ce cas) :  dn f  £  n   p nF(p)  dt  2.2.4 – Transformée de Laplace de l’intégrale On montre que £ f ( t )dt   G(p)  1 1 F(p)  g(0). p p Remarque : si les CI=0 (et seulement dans ce cas, dériver dans le domaine temporel revient à multiplier par p dans le domaine symbolique ; de la même manière, intégrer dans le domaine temporel revient à diviser par p dans le domaine symbolique. 2.3 – Théorèmes 2.3.1 – Théorème du retard Soit une fonction f(t), nulle pour t < 0 et admettant une transformée de Laplace. Soit g(t) = f(t – T) la même fonction retardée d’un temps T. f(t) g(t) t 0 T Figure 1.9 – Fonction retardée On montre que : £f ( t  T )  e F(p) pT 2.3.2 – Théorèmes des limites On montre que :  théorème de la valeur initiale : lim t 0 f ( t )  limp pF(p)  théorème de la valeur finale : lim t  f ( t )  limp0 pF(p) , théorème important dont on aura souvent besoin (calcul du régime permanent). 2.4 – Recherche de l’originale d’une transformée de Laplace La table des TdL donnée en annexe ne concerne que des fonctions élémentaires (fractions rationnelles d’ordre 1 ou 2). Or, le plus souvent, les expressions qui modéliseront les SA seront d’ordre supérieur. Il faudra donc effectuer une décomposition de ces expressions en éléments simples puis prendre l’originale de chacun de ces éléments. On pourra revoir bien sûr avec profit le EST de Safi – Cours d’Automatique – Mme O.IKHOUANE – 2018-19 8 cours de mathématiques correspondant à la décomposition des fractions rationnelles en éléments simples. Dans ce paragraphe nous reprendrons les résultats fondamentaux de ce cours. On se place ici dans le cas où F(p) est une fraction rationnelle dont le degré du numérateur est inférieur ou égal à celui du dénominateur (cas des systèmes réels). 2.4.1 – Cas où les pôles sont simples n Les pôles sont simples si le dénominateur s’écrit sous la forme  p  p i  avec  = 1. p 1 i 1 Exemple : Soit F(p)  2 dont on désire trouver l’originale. p  5p  6 p 1 On cherche les pôles de F(p), soit p1 = – 2 et p2 = – 3, et donc F(p) . (p  2)(p  3) p 1 A B F(p) se décompose en   : (p  2)(p  3) p  2 p  3  Pour avoir A, on multiplie les 2 membres de l’équation par (p + 2), puis on fait p = – 2, soit : (p  1 )(p  2) A(p  2) B(p  2) (p  1 ) B(p  2)    A et en faisant p = – 2, il (p  2)(p  3) p2 p3 (p  3) p3 vient A = –1  Pour avoir B, on opère de la même manière : on multiplie les 2 membres de l’équation par (p + 3) et on fait p = –3, soit : (p  1 )(p  3) A(p  3) B(p  3)    (p  1 ) A p  3  B et en faisant p = – 3, il (p  2)(p  3) p2 p3 (p  2) p  2 vient B = 2 1 2 2 t 3 t D’où F(p)   et en se reportant à la table des transformées, il vient f ( t )   e  2e p2 p3 2.4.2 – Cas où un pôle est multiple  p  p1 (p  pi ) n Le dénominateur s’écrit sous la forme avec   1. On écrit alors F(p) i 1 A B C D E sous la forme F(p)     1 ....  ....   .... (p  p ) (p  p ) (p  p ) pp pp 1 1 1 2 3 p 1 Exemple : trouver l’originale de F(p) . p(p  2) 2 p 1 A B C F(p) se décompose sous la forme   . Pour obtenir : p(p  2) 2 p (p  2) 2 p2  A on multiplie par p et on fait p = 0  B on multiplie par (p  2)2 et on fait p = –2  C on multiplie par p+2 et on fait tendre p vers l’infini. 0,25 0,5 0,25 On obtient A = 0,25 , B = 0,5 et C = –0,25 , donc F(p)    et l’originale s’écrit p (p  2)2 p2 2 t 2 t alors f ( t )  0,25  0,5te  0,25e. EST de Safi – Cours d’Automatique – Mme O.IKHOUANE – 2018-19 9 2.4.3 – Cas où les pôles sont complexes  p  p . 1  a p  b p . k l 2 Le dénominateur s’écrit sous la forme générale j j j j1 j1 Les trinômes du second degré admettant deux racines complexes conjuguées, la méthode consiste à les écrire de la manière suivante : (p  a)2  2. La décomposition de F(p) donnera alors p   un terme en. (p  a)2  2 p 1 Exemple : soit à trouver l’originale de F(p) . p(p  p  2) 2 p 1 A p   F(p) se décompose en   2. Pour obtenir : p(p  p  2) 2 p p p2  A, on multiplie par p et on fait p = 0 soit A = 0,5.  , on multiplie par p et on fait p  ; p(p  1) Ap p 2   p p 1 p 2   p   2  2 A 2  p(p 2  p  2) p (p  p  2) p p2 (p  p  2) p 1 p 2   p lim p  0 et lim p  p2  p  2 p2  p  2 On obtient A +  = 0, donc  = -0,5  , on peut prendre une valeur particulière de p de manière à avoir le dénominateur le plus simple possible. Par exemple, si on prend p = –1, alors p 2  p  2  2 et donc le dénominateur de la fonction vaut –2. On obtient alors   0,5. Donc : 1 p 1  1 p 1  F(p)  0,5   2   0,5     p p  p  2   p (p  0,5)  1,75  2  et l’originale s’écrit f ( t )  0,5. 1  1,51.e 0,5 t. cos1,32t  486 .  3 – FONCTIONS DE TRANSFERT La transformée de Laplace va nous permettre de traiter n’importe quelle équation différentielle d’ordre n à coefficients constants afin de modéliser le système qu’elle décrit. Le modèle obtenu s’appelle fonction de transfert. 3.1 – Définition On considère le système décrit par l’équation différentielle suivante : dn s dn1s ds dm e dm1e de an  a n1 ....a 1.  a 0 s  b m m  b m1 m1 ...  b 1.  b0e dt n dt n1 dt dt dt dt Ce système est considéré au repos ou alors en régime permanent établi depuis suffisamment longtemps : cela signifie que toutes les dérivées sont donc nulles à l'instant t = 0. La transformée de Laplace de l’équation s'écrit alors : EST de Safi – Cours d’Automatique – Mme O.IKHOUANE – 2018-19 10 a n.p n.Sp  .... a1.p.Sp   a 0.Sp   b 0.Ep   b1.p.E(p) ....  b m.p m.E(p) d'où : S(p) b m.p m  b m1.p m1 ....  b1.p  b 0  E(p) a n.p n  a n1.p n1 .... a1.p  a 0 S(p) H(p)  est appelée fonction de transfert ou transmittance du système. E(p) La fonction de transfert est l'expression qui relie les variations, vis à vis d'un régime initial ou point de fonctionnement, du signal de sortie par rapport au signal d'entrée. Dans un schéma fonctionnel, un système sera représenté par sa fonction de transfert. E(p) S(p) H(p) Figure 1.10 – Schéma fonctionnel d’un système Exemple : Un système régi par l’équation différentielle (ED) ds( t ) s( t )    .e( t ) dt Si s(0  )  0 ; on peut exprimer la fonction de transfert par transformée de Laplace de l’équation (1) :  T(p)  1  .p 3.2 – Fonction de transfert en boucle fermée Soit le système mis sous forme du schéma suivant : E(p) + D(p) S(p) F(p) _ M(p) R(p) Figure 1.11 – Système en boucle fermée avec :  M(p) :T.L du signal retour, c’est la mesure.  D(p) :T.L de l’écart (différence ou erreur) S(p)  F(p) : fonction de transfert de la chaine directe F(p)  D(p) M(p)  R(p) : fonction de transfert de la chaine de retour R(p)  S(p) On appelle fonction de transfert en boucle ouverte (FTBO), l'expression : EST de Safi – Cours d’Automatique – Mme O.IKHOUANE – 2018-19 11 M(p) FTBO   F(p)R(p) D(p) On a donc : S(p)  F(p).D(p)  F(p)E(p)  M(p)  F(p)Ep )  R(p).S(p)  F(p).E(p)  F(p).R(p).S(p) D’où : S(p)  F(p).R(p).S(p)  F(p).E(p). On déduit alors la fonction de transfert en boucle fermée (FTBF) : S(p) F(p) F(p)   E(p) 1  R(p).F(p) 1  FTBO 3.3 – Cas des systèmes perturbés Considérons le schéma plus détaillé d'un système asservi faisant apparaître l'entrée de commande E(p) et l'entrée de perturbations P(p). F(p) se décompose en 2 éléments H1(p) et H2(p) P(p) E(p) + D(p) + S(p) H1(p) H2(p) _ + M(p) R(p) Figure 1.12 – Système perturbé  Nous pouvons écrire D(p)  E(p)  R(p)S(p) et S(p)  H 2 (p) H1 (p)D(p)  P(p) donc :   S(p)  H 2 (p) H1 (p)E(p)  H1 (p)R(p)S(p)  P(p)    d'où S(p) 1 + H1 (p)H 2 (p)R(p)  H1 (p)H 2 (p)E(p)  H 2 (p)P(p) ou encore : H1 (p)H 2 (p) H 2 (p) S(p)  E(p)  P(p) (1) 1  H1 (p)H 2 (p)R(p) 1  H1 (p)H 2 (p)R(p) Dans cette expression, les deux termes essentiels ont le même dénominateur. Dans celui- ci, on peut observer que : H1(p)H2(p)R(p)  FTBO a) Fonction de transfert vis à vis de l’entrée principale Dans l’expression (1), on fait P(p) = 0. On obtient : S(p) H1(p)H2(p) H (p)H2(p)   1 E(p) 1  H1(p)H2(p)R(p) 1  FTBO Ce rapport représente la fonction de transfert en boucle fermée (FTBF) relative à l'entrée principale E(p). EST de Safi – Cours d’Automatique – Mme O.IKHOUANE – 2018-19 12 b) Fonction de transfert vis à vis de la perturbation Si on fait E(p) = 0 alors : S(p) H2(p) H2(p)   P(p) 1  H1(p)H2(p)R(p) 1  FTBO Ce rapport représente la fonction de transfert en boucle fermée relative à la perturbation. S(p) En fait fournit l'aspect régulateur de la boucle d'asservissement (effet des P(p) S(p) perturbations seules sur la sortie) alors que fournit l'aspect asservissement ou E(p) poursuite. c) Intérêt de la boucle fermée La boucle fermée va permettre de s’affranchir progressivement des effets des perturbations, c’est même là tout son intérêt. 4 – CONCLUSION Les systèmes asservis se retrouvent en très grand nombre dans l’industrie : régulation de température, de vitesse, de niveau, etc. Ce sont des systèmes sensibles pas toujours très simples à mettre au point et à régler, et à la limite, ils ne sont pas à mettre en toutes les mains !… C’est pourquoi on les confie à des techniciens supérieurs confirmés car il est nécessaire de « sentir » le processus, c'est-à-dire d’appréhender son comportement. En terme de maintenance, il ya rarement de casse car on y applique une bonne dose de préventif. Le plus souvent, les problèmes rencontrés sont des problèmes de réglage (liés directement aux perturbations ou à la dérive des composants par vieillissement). Ces réglages doivent être effectués rapidement, car ils ont une influence sur la qualité des produits fabriqués et sur la productivité du processus. De ce fait, il est nécessaire de maîtriser le comportement du processus. Maîtriser un processus implique trois niveaux de compétence. Il faut :  le connaître (identifier, distinguer les sous-ensembles des composant),  savoir l’utiliser et le faire fonctionner,  savoir analyser, synthétiser et évaluer son comportement. Donc, pour maîtriser un processus, il faut « l’apprendre », c'est-à-dire :  l’identifier expérimentalement, donc le modéliser,  valider le modèle du processus,  élaborer l’architecture de l’automatisme et la stratégie de commande,  vérifier que ses performances correspondent au cahier des charges,  l’améliorer si nécessaire. Ce sera l’esprit de ce cours :  première partie (chapitres 2 et 3) : apprentissage du processus (réponse à des excitations-types, modélisation),  seconde partie (chapitre 4 et 5) : automatisation (correction et amélioration du comportement). EST de Safi – Cours d’Automatique – Mme O.IKHOUANE – 2018-19 13 ANNEXE TABLE DES TRANSFORMEES DE LAPLACE USUELLES EN AUTOMATIQUE f(t) pour t > 0 F(p) f(t) pour t > 0 F(p) (t) 1 1  cos t 2  p p 2  2  1 pa 1 ou u(t) e at. cos t p p  a2  2 1  t e at. sin t p2 p  a2  2 t n1 1  t t  1 (n  1)! pn 1   e 1  e 2  1  1p1   2p 1   2     1 1 e  at  t t  p1  1p 1   2 p    pa 1 1   e 1   e 2  1   2  1 2  1   t  1 e  p1  p  1 t.e  at 1 e n t sin n 1   2.t  1 p  a2   2 p2 1  2 1 p 2 t 1 n t n1e   n 1  pn avec   1  n n  1 !  t 1 e nt sin n 1   2.t    1 1 p1  p  1 e  1 1  2    2 p2  p1  p  2  t 1   1  n n   t  1   1  e  p1  p  2 avec      arcCos p cos t A.e at. cost    p   p  2 2 avec p  a2  2  A        a  1 2 2 2 sin t   p  2 2    arctan   a  