Calculus 1 2024 PDF

Calculus 1 ll 2024 Les fonctions Calculus 1 ll 2024 1 / 24 Généralités sur les fonctions d’une variable ; les applications, les composées, les bijections Calculus 1 ll 2024 2 / 24 Qu’est-ce qu’une fonction ? N.B. : Quelques prérequis s...

Calculus 1 ll 2024 Les fonctions Calculus 1 ll 2024 1 / 24 Généralités sur les fonctions d’une variable ; les applications, les composées, les bijections Calculus 1 ll 2024 2 / 24 Qu’est-ce qu’une fonction ? N.B. : Quelques prérequis sur les ensembles Soient les ensembles A et B. Une fonction entre A et B consiste en l’association d’éléments de A et de B. Un élément de A peut être associé avec au plus un élément de B. Si f est le nom de cette fonction alors f : A −→ B est le processus d’association et on écrit : f : x 7−→ y = f (x ) f est parfaitement connue par Gf = {(x , y ) ∈ A × B , x ∈ A, y = f (x )} (Graphe de f ) Calculus 1 ll 2024 3 / 24  f : A −→ B x 7−→ y = f (x ) 1 A est l’ensemble de départ et B est l’ensemble d’arrivée. 2 x est l’antécédent de y de B si y = f (x ). 3 f (x ) est l’image de x par f. 4 Le plus grand sous-ensemble de A dont tous les éléments sont assciés à un élément de B par f est le domaine de définition de f : D (f ). D (f ) = {x ∈ A, ∃y ∈ B tq y = f (x )} 5 Le sous-ensemble de B constitué des éléments de B associés à un élément de A est ensemble image de D (f ) par f. Im(f ) = {f (x ), x ∈ D (f )} Calculus 1 ll 2024 4 / 24 Comment définir une fonction ? Par une table de valeurs par un diagramme par une fomule algébrique par une courbe par un algorithme Calculus 1 ll 2024 5 / 24 Les fonctions numériques connues sont : Les fonctions polynômes La fonction valeur absolue La fonction racine carrée Les fonctions homographiques La fonction exponentielle La fonction logarithme Les fonctions trigonométriques : cos et sin Calculus 1 ll 2024 6 / 24 Les applications Soit f une fonction de A dans B. Sur son domaine de définition , chaque élément de Df a une image f (x ). f est alors une application de Df dans B Calculus 1 ll 2024 7 / 24 Composée de fonctions De façon générale , La fonction composée (g ◦ f ) de deux fonctions f et g est définie par : (g ◦ f )(x ) = g (f (x )) Le domaine de définition de (g ◦ f ) est l’ensemble de tous les x du domaine de définition de f tels que f (x ) est dans le domaine de g. à tout élément x de l’ensemble A, on applique successivement les 2 fonctions f puis g. Calculus 1 ll 2024 8 / 24 Calculus 1 ll 2024 9 / 24 Rappel : Dérivée de la composée de deux fonctions Propriété : (v (u (x )))′ = u ′ (x ) × (v ′ (u (x ))) ou encore (v ◦ u )′ = u ′ × (v ′ ◦ u ) Exemple : Calculus 1 ll 2024 10 / 24 Bijection et bijection réciproque Définition : Soit I un ensemble. On appelle identité de I l’application notée IdI telle que : IdI : I −→ I et pour tout x de I ,IdI (x ) = x. Définition : Soit I et J des ensembles et f une application de I dans J. S’il existe une application g de J dans I telle que : g ◦ f = IdI et f ◦ g = IdJ alors on dira que f est une bijection de I sur J. Calculus 1 ll 2024 11 / 24 Exemple : Soit les applications f et g de R dans R définies par : 1 f (x ) = 2x et g (y ) = y 2 alors pour tout réel x , g ◦ f (x ) = g (f (x )) = g (2x ) = 12 (2x ) = x donc g ◦ f = idR pour tout réel y , f ◦ g (y ) = f (g (y )) = f ( 12 y ) = 2( 12 y ) = y donc f ◦ g = idR Conclusion : f est une bijection de R dans R. Proposition : Si f est une bijection de I dans J alors l’application g telle que g ◦ f = IdI et f ◦ g = IdJ est unique. g est aussi une bijection mais de J dans I. Alors , nous avons la définition suivante. Définition : g s’appelle la bijection réciproque de f. Calculus 1 ll 2024 12 / 24 Notation : Si f est une bijection de I dans J , sa bijection réciproque est notée f −1. Proposition : On a : 1 (f −1 )−1 = f. 2 y = f (x ) est équivalent à x = f −1 (y ) Exemple : Soit l’application f : [0, +∞[−→ [0, +∞[ telle que f (x ) = x 2. √ Soit l’application g [0, +∞[−→ [0, +∞[ telle que g (x ) = x alors √ g ◦ f (x ) = g (x 2 ) = x et f ◦ g (x ) = f ( x ) = x donc f est une bijection de [0, +∞[ dans [0, +∞[ et sa bijection réciproque sur [0, +∞[ est g. On peut écrire : pour tout réel x et tout réel y de [0, +∞[, √ y = x 2 équivaut à x = y Calculus 1 ll 2024 13 / 24 Théorème de composition : Soit a , b et c des réels ou +∞ ou −∞ On considère deux fonctions f et g définies sur R telles que : lim g (x ) = b x →a lim f (x ) = c x →b Alors lim f (g (x )) = c x →a Exemple r 1 Calculons lim +4 x →+∞ x 1 1 Comme lim = 0, lim + 4 = 4 alors d’après le théorème de x →+∞ x x r x →+∞ 1 √ composition des limites : lim +4 = 4 = 2 x →+∞ x Calculus 1 ll 2024 14 / 24 Rappels des généralités sur les fonctions d’une variable Généralités : Soit f une application de domaine de définition Df. Définitions : Si Df est symétrique par rapport à l’origine , alors 1 f est une fonction paire si pour tout réel x de Df , f (−x ) = f (x ). 2 f est une fonction impaire si pour tout réel x de Df , f (−x ) = −f (x ). S’il existe un réel T (T > 0) tel que pour tout réel x de Df , x + T ∈ Df , alors ▶ f est une fonction périodique si pour tout réel x de D , f (x + T ) = f (x ). f ▶ On appelle période de f le plus petit réel T > 0 vérifiant les données précédentes. Calculus 1 ll 2024 15 / 24 Proposition : 1 Si f est une fonction paire alors la courbe représentative de f est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. 2 Si f est une fonction impaire alors la courbe représentative de f est symétrique par rapport par rapport à l’origine du repère. 3 Si f est une fonction périodique de période T alors on étudie f sur Df ∩ [a, a + T ] (où a est quelconque) et on complète sa courbe par des translations de vecteurs kT⃗i où k ∈ Z. Calculus 1 ll 2024 16 / 24 Relations entre deux fonctions Soient les deux fonctions f et g définies sur I. On définit les relations suivantes : f = g équivaut à f (x ) = g (x ) pour tout x de I. f > 0 équivaut à f (x ) > 0 pour tout x de I. f > g équivaut à f (x ) > g (x ) pour tout x de I. Définition : On dit que f est minorée sur I s’il existe un réel m tel que pour tout x de I, m ≤ f (x ). On dit que f est majorée sur I s’il existe un réel M tel que pour tout x de I, f (x ) ≤ M. On dit que f est bornée sur I si elle est minorée et majorée sur I. Calculus 1 ll 2024 17 / 24 Variations Soit I un intervalle ouvert, ou fermé ou bornéou non , contenant les réels a et b. Soit f une fonction définie sur I. Une fonction f est croissante sur I si pour tous a et b de I vérifiant a ≤ b , on a f (a) ≤ f (b). Une fonction f est strictement croissante sur I si pour tous a et b de I vérifiant a < b , on a f (a) < f (b). Une fonction f est décroissante sur I si pour tous a et b de I vérifiant a ≤ b , on a f (a) ≥ f (b). Une fonction f est strictement décroissante sur I si pour tous a et b de I vérifiant a < b , on a f (a) ≥ f (b). Remarque : Une fonction f est bornée sur I s’il existe un réel M (M ≥ 0) tel que : pour tout réel x de I , |f (x )| ≤ M. Calculus 1 ll 2024 18 / 24 Extremum d’une fonction sur un intervalle Une fonction f définie sur l’intervalle I admet un maximum global en a de I si : Pour tout réel x de I , f (x ) ≤ f (a). On dit que f (a) est le maximum global de f sur I. Une fonction f définie sur l’intervalle I admet un minimum global en a de I si : Pour tout réel x de I , f (x ) ≥ f (a). On dit que f (a) est le minimum global de f sur I. Une fonction f définie sur l’intervalle I admet un maximum local en a de I si : il existe un intervalle J contenant a tel que pour tout x de I ∩ J , f (x ) ≤ f (a) On dit que f (a) est le maximum local de f sur I. Une fonction f définie sur l’intervalle I admet un minimum local en a de I si : il existe un intervalle J contenant a tel que pour tout x de I ∩ J , f (x ) ≥ f (a) On dit que f (a) est le minimum local de f sur I. Calculus 1 ll 2024 19 / 24 Exemple : f admet un minimum local en x = −3 : si on choisit J = [−4, −2], alors pour tout réel x de I ∩ J , on a f (x ) ≥ f (−3). f (−3) = 0, 8 est le minimum local de f sur [−3, −2] f admet un maximum local en x = −2. Si on choisit J = [−3, −1] , on f (x ) ≤ f (−2) sur I ∩ J f (−2) = 1, 7 est un maximum local de f sur [−3, 3]. f admet un minimum global en x = 1. f (1) = −0, 6 est le minimum global de f sur [−3, 3]. f admet un maximum global en x = 3. f (3) = 3, 75 est le maximum global de f sur [−3, 3]. Calculus 1 ll 2024 20 / 24 Fonctions affines Une fonction affine est définie sur R par f (x ) = ax + b (avec a et b réels). a est le coefficient directeur b est l’ordonnée à l’origine :f (0) = b. Le graphe de f est une droite passant par le point de coordonnées : (0, b)   1 et de vecteur directeur ⃗u = a Fonction valeur absolue La fonction valeur absolue est définie sur R par f (x ) = |x |. Cette fonction est paire : | − x | = |x | Calculus 1 ll 2024 21 / 24 Fonction du second degré 1 La fonction carrée est définie sur R par f (x ) = x 2. 2 f est décroisssante sur ] − ∞, 0] et croissante sur [0, +∞[. 3 Dans un repère orthonormé (O ,⃗i ,⃗j ) , le graphe de f est une parabole d’axe (Oy ) de sommet O 1 Une fonction du second degré est définie sur R par f (x ) = a(x − α)2 + β (avec a ̸= 0) 2 Le signe de a donne les variations de la fonction f. 3 Le graphe de f est une parabole d’axe x = α et de sommet S (α, β) a>0 a