IMG_2451.jpeg

# UNIDAD 3: DERIVADA ## 3.1. CONCEPTO DE DERIVADA ### 3.1.1. INTRODUCCIÓN La derivada de una función es una medida de la tasa de cambio instantánea de la función. Es decir, la derivada nos dice cuánto cambia el valor de la función cuando cambia el valor de su variable independiente. ### 3.1.2. D...

# UNIDAD 3: DERIVADA ## 3.1. CONCEPTO DE DERIVADA ### 3.1.1. INTRODUCCIÓN La derivada de una función es una medida de la tasa de cambio instantánea de la función. Es decir, la derivada nos dice cuánto cambia el valor de la función cuando cambia el valor de su variable independiente. ### 3.1.2. DEFINICIÓN DE DERIVADA La derivada de una función $f(x)$ en un punto $x = a$ se define como el límite: $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$ Si este límite existe, se dice que la función $f(x)$ es derivable en el punto $x = a$. La derivada de una función $f(x)$ se puede denotar de varias maneras: * $f'(x)$ * $\frac{dy}{dx}$ * $D_x f(x)$ ### 3.1.3. INTERPRETACIONES DE LA DERIVADA La derivada de una función tiene varias interpretaciones: * **Interpretación geométrica:** La derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto. * **Interpretación física:** La derivada de la posición de un objeto con respecto al tiempo es la velocidad del objeto. La derivada de la velocidad con respecto al tiempo es la aceleración. * **Interpretación económica:** La derivada de la función de costo total con respecto a la cantidad producida es el costo marginal. La derivada de la función de ingreso total con respecto a la cantidad vendida es el ingreso marginal. ### 3.1.4. DERIVADAS LATERALES Las derivadas laterales son los límites de la función cuando se acerca al punto por la izquierda o por la derecha: * **Derivada lateral por la derecha:** $f'(a+) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$ * **Derivada lateral por la izquierda:** $f'(a-) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$ Para que una función sea derivable en un punto, las derivadas laterales deben existir y ser iguales: $f'(a+) = f'(a-)$ ### 3.1.5. DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD Si una función es derivable en un punto, entonces es continua en ese punto. Sin embargo, el recíproco no es cierto. Es decir, una función puede ser continua en un punto pero no derivable en ese punto. **Ejemplo:** La función $f(x) = |x|$ es continua en $x = 0$, pero no es derivable en $x = 0$. ### 3.1.6. CÁLCULO DE DERIVADAS El cálculo de derivadas se puede realizar utilizando la definición de derivada o utilizando las reglas de derivación. **Ejemplo:** Calcular la derivada de la función $f(x) = x^2$ utilizando la definición de derivada. $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x$ Por lo tanto, la derivada de la función $f(x) = x^2$ es $f'(x) = 2x$.