Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2;1;1). Gọi (P) là mặt phẳng chứa trục Oy sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất. Biết rằng n = (2;a;b) là một vectơ pháp tuyến của (P). Tính 3... Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2;1;1). Gọi (P) là mặt phẳng chứa trục Oy sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất. Biết rằng n = (2;a;b) là một vectơ pháp tuyến của (P). Tính 3a + b. Read more

Steps to Solve

1. Xác định phương trình tổng quát của mặt phẳng (P)

Vì (P) chứa trục Oy nên phương trình của (P) có dạng $Ax + Cz = 0$. Khi đó vectơ pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow{n} = (A; 0; C)$. Bài toán cho $\overrightarrow{n} = (2; a; b)$, do đó ta có thể viết lại phương trình của (P) dưới dạng $2x + az + b = 0$. Vì (P) chứa trục Oy nên mọi điểm thuộc trục Oy đều phải thỏa mãn phương trình của (P).

2. Tìm điều kiện để (P) chứa trục Oy

Một điểm bất kỳ trên trục Oy có tọa độ (0; y; 0). Thay vào phương trình mặt phẳng (P): $2(0) + a(0) + b = 0 \implies b = 0$. Vậy vectơ pháp tuyến có dạng $\overrightarrow{n} = (2; a; 0)$, và phương trình mặt phẳng (P) trở thành $2x + az = 0$.

3. Tính khoảng cách từ A đến (P)

Khoảng cách từ điểm $A(2; 1; 1)$ đến mặt phẳng (P) có phương trình $2x + az = 0$ là: $d(A, (P)) = \frac{|2(2) + a(1)|}{\sqrt{2^2 + a^2}} = \frac{|4 + a|}{\sqrt{4 + a^2}}$.

4. Tìm a để khoảng cách lớn nhất

Ta cần tìm $a$ để $d(A, (P))$ đạt giá trị lớn nhất. Xét hàm số $f(a) = \frac{|4 + a|}{\sqrt{4 + a^2}}$. Để đơn giản, xét $f^2(a) = \frac{(4 + a)^2}{4 + a^2} = \frac{a^2 + 8a + 16}{a^2 + 4} = 1 + \frac{8a + 12}{a^2 + 4}$

Để $f^2(a)$ lớn nhất thì $\frac{8a + 12}{a^2 + 4}$ lớn nhất. Xét đạo hàm của $g(a) = \frac{8a + 12}{a^2 + 4}$: $g'(a) = \frac{8(a^2 + 4) - (8a + 12)(2a)}{(a^2 + 4)^2} = \frac{8a^2 + 32 - 16a^2 - 24a}{(a^2 + 4)^2} = \frac{-8a^2 - 24a + 32}{(a^2 + 4)^2}$

$g'(a) = 0 \implies -8a^2 - 24a + 32 = 0 \implies a^2 + 3a - 4 = 0 \implies (a - 1)(a + 4) = 0$.

Vậy $a = 1$ hoặc $a = -4$.

5. Kiểm tra các giá trị của a

• Với $a = 1$: $g(1) = \frac{8(1) + 12}{1 + 4} = \frac{20}{5} = 4$
• Với $a = -4$: $g(-4) = \frac{8(-4) + 12}{16 + 4} = \frac{-20}{20} = -1$

Vậy $g(a)$ lớn nhất khi $a = 1$.

6. Tính 3a + b

Ta có $a = 1$ và $b = 0$. Vậy $3a + b = 3(1) + 0 = 3$.