Proposición 2.1. Supongamos que f, g: M → ℝ son funciones C∞ y α, β ∈ ℝ, entonces (i) ∂(αf+βg)/∂x_i = α ∂f/∂x_i + β ∂g/∂x_i, (ii) ∂(f·g)/∂x_i = ∂f/∂x_i · g + f · ∂g/∂x_i. Proposición 2.1. Supongamos que f, g: M → ℝ son funciones C∞ y α, β ∈ ℝ, entonces (i) ∂(αf+βg)/∂x_i = α ∂f/∂x_i + β ∂g/∂x_i, (ii) ∂(f·g)/∂x_i = ∂f/∂x_i · g + f · ∂g/∂x_i.
Understand the Problem
La pregunta se refiere a una proposición matemática que involucra el cálculo de derivadas parciales de funciones. Se busca demostrar dos propiedades relacionadas con la derivada de la suma y el producto de funciones, utilizando notación matemática y propiedades específicas del cálculo en contextos de funciones infinitamente diferenciables.
Answer
Las derivadas son: $$ \frac{\partial (\alpha f + \beta g)}{\partial x_i} = \alpha \frac{\partial f}{\partial x_i} + \beta \frac{\partial g}{\partial x_i} $$ y $$ \frac{\partial (f \cdot g)}{\partial x_i} = \frac{\partial f}{\partial x_i} \cdot g + f \cdot \frac{\partial g}{\partial x_i} $$
Answer for screen readers
La derivada del sumatorio es:
$$ \frac{\partial (\alpha f + \beta g)}{\partial x_i} = \alpha \frac{\partial f}{\partial x_i} + \beta \frac{\partial g}{\partial x_i} $$
Y la derivada del producto es:
$$ \frac{\partial (f \cdot g)}{\partial x_i} = \frac{\partial f}{\partial x_i} \cdot g + f \cdot \frac{\partial g}{\partial x_i} $$
Steps to Solve
- Diferenciación de la suma de funciones
Utilizando la regla de la derivada para la suma, tenemos:
$$ \frac{\partial (\alpha f + \beta g)}{\partial x_i} = \alpha \frac{\partial f}{\partial x_i} + \beta \frac{\partial g}{\partial x_i} $$
Esto se basa en que las derivadas parciales son lineales respecto a las funciones involucradas.
- Diferenciación del producto de funciones
Aplicamos la regla del producto para derivadas:
$$ \frac{\partial (f \cdot g)}{\partial x_i} = \frac{\partial f}{\partial x_i} \cdot g + f \cdot \frac{\partial g}{\partial x_i} $$
Aquí, multiplicamos la derivada de la primera función por la segunda, y luego sumamos el producto de la primera función por la derivada de la segunda.
- Aplicación de derivadas parciales
Vamos a expresar las derivadas parciales de cada función en términos de las variables. Por tanto, utilizamos:
$$ \frac{\partial (f \cdot g)}{\partial x_i} = \frac{\partial (f(x^{-1})x)}{\partial x_i} = \frac{\partial f}{\partial x_i} \cdot g + f \cdot \frac{\partial g}{\partial x_i} $$
Donde $g$ es derivada de $g(x^{-1})$ y se involucra $x$ en la expresión.
La derivada del sumatorio es:
$$ \frac{\partial (\alpha f + \beta g)}{\partial x_i} = \alpha \frac{\partial f}{\partial x_i} + \beta \frac{\partial g}{\partial x_i} $$
Y la derivada del producto es:
$$ \frac{\partial (f \cdot g)}{\partial x_i} = \frac{\partial f}{\partial x_i} \cdot g + f \cdot \frac{\partial g}{\partial x_i} $$
More Information
Esta proposición es fundamental en el cálculo de derivadas parciales, mostrando cómo funcionan las reglas de suma y producto en el contexto de funciones infinitamente diferenciables.
Tips
- No aplicar la linealidad: Asegúrate de aplicar correctamente la linealidad de las derivadas. Muchos errores ocurren en este paso al olvidar multiplicar las constantes $\alpha$ y $\beta$.
- Confundir regla de suma y de producto: Es crucial no mezclar las reglas de suma y de producto durante la diferenciación, ya que cada una tiene una forma específica de calcular.
AI-generated content may contain errors. Please verify critical information
