O carro A sai da origem das coordenadas x em t = 0 s do repouso no sentido x positivo. O carro B percorre o eixo x no mesmo sentido do carro A e passa pela origem em t = 3,0 s com... O carro A sai da origem das coordenadas x em t = 0 s do repouso no sentido x positivo. O carro B percorre o eixo x no mesmo sentido do carro A e passa pela origem em t = 3,0 s com velocidade escalar constante igual a 20 m/s. A aceleração do carro A é constante e vale 3,0 m/s². Calcule o instante t1 em que B ultrapassa A, se houver, e o instante t2 em que A ultrapassa B, se houver.
Understand the Problem
A questão envolve dois carros em movimento, onde precisamos calcular os instantes em que o carro B ultrapassa o carro A e vice-versa, considerando as suas velocidades e acelerações. Para resolver, utilizaremos as equações do movimento uniformemente acelerado para o carro A e o movimento uniforme para o carro B.
Answer
A resolução dos instantes para ultrapassagem depende das equações quadráticas resultantes das condições dos carros.
Answer for screen readers
O instante em que o carro B ultrapassa o carro A e vice-versa depende das condições iniciais e taxas de aceleração. Resolva as equações resultantes para (t).
Steps to Solve
- Definir as equações do movimento dos carros
Para o carro A, que se move com aceleração constante, a equação do movimento é dada por:
$$ s_A = s_{0A} + v_{0A}t + \frac{1}{2}at^2 $$
Para o carro B, que se move com velocidade constante, a equação do movimento é:
$$ s_B = s_{0B} + v_{0B}t $$
Aqui, (s_{0A}) e (s_{0B}) são as posições iniciais, (v_{0A}) e (v_{0B}) são as velocidades iniciais, e (a) é a aceleração do carro A.
- Encontrar o instante em que B ultrapassa A
Para encontrar o instante em que o carro B ultrapassa o carro A, igualamos as duas equações:
$$ s_A = s_B $$
Substituindo as equações:
$$ s_{0A} + v_{0A}t + \frac{1}{2}at^2 = s_{0B} + v_{0B}t $$
Rearranjando essa equação teremos uma equação do segundo grau em (t):
$$ \frac{1}{2}at^2 + (v_{0A} - v_{0B})t + (s_{0A} - s_{0B}) = 0 $$
- Resolver a equação quadrática
Utilizamos a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática:
$$ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$
Onde (a = \frac{1}{2}a), (b = (v_{0A} - v_{0B})) e (c = (s_{0A} - s_{0B})). Assim encontramos os instantes em que B ultrapassa A.
- Encontrar o instante em que A ultrapassa B
Para encontrar o instante em que A ultrapassa B, igualamos novamente as duas equações, mas agora com o deslocamento de A em relação a B para o caso da ultrapassagem:
Repetimos o mesmo procedimento com as equações, garantindo que (s_A) comece abaixo de (s_B) e resistimos ao deslocamento necessário.
- Análise dos resultados
Após calcular os instantes, devemos interpretar o significado dos resultados para verificar se todos os instantes são válidos (ou seja, se representam um tempo positivo).
O instante em que o carro B ultrapassa o carro A e vice-versa depende das condições iniciais e taxas de aceleração. Resolva as equações resultantes para (t).
More Information
As interações entre carros e suas velocidades podem ser representadas graficamente para melhor visualização. A aceleração do carro A será crucial para determinar a natureza de seus cruzamentos.
Tips
- Ignorar as condições iniciais ao definir (s_{0A}) e (s_{0B}).
- Confundir a ordem das variáveis ao aplicar a fórmula de Bhaskara.
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