Determina la regla y las posiciones que se piden en las siguientes secuencias: 4, 13, 28, 49, ... Regla general: 3, 9, 18, 30, ... Regla general: 2, 7, 16, 29, 46, ... Regla gener... Determina la regla y las posiciones que se piden en las siguientes secuencias: 4, 13, 28, 49, ... Regla general: 3, 9, 18, 30, ... Regla general: 2, 7, 16, 29, 46, ... Regla general: Read more

Steps to Solve

1. Analizar la primera secuencia: 4, 13, 28, 49

Calculamos las diferencias entre términos consecutivos: $13 - 4 = 9$ $28 - 13 = 15$ $49 - 28 = 21$

Calculamos las diferencias de las diferencias: $15 - 9 = 6$ $21 - 15 = 6$

Como la segunda diferencia es constante, la regla general es una cuadrática de la forma $an^2 + bn + c$.

2. Determinar la regla general para la primera secuencia

Como la segunda diferencia es 6, entonces $2a = 6$, lo que implica $a = 3$. La regla general es de la forma $3n^2 + bn + c$.

Sustituimos $n = 1$ para obtener el primer término, 4: $3(1)^2 + b(1) + c = 4$, lo que implica $3 + b + c = 4$, entonces $b + c = 1$.

Sustituimos $n = 2$ para obtener el segundo término, 13: $3(2)^2 + b(2) + c = 13$, lo que implica $12 + 2b + c = 13$, entonces $2b + c = 1$.

Restamos la primera ecuación de la segunda ecuación: $(2b + c) - (b + c) = 1 - 1$, lo que implica $b = 0$. Como $b + c = 1$, entonces $0 + c = 1$, lo que implica $c = 1$.

La regla general para la primera secuencia es $3n^2 + 1$.

Ahora, calculamos el siguiente término ($n = 5$): $3(5)^2 + 1 = 3(25) + 1 = 75 + 1 = 76$.

3. Analizar la segunda secuencia: 3, 9, 18, 30

Calculamos las diferencias entre términos consecutivos: $9 - 3 = 6$ $18 - 9 = 9$ $30 - 18 = 12$

Calculamos las diferencias de las diferencias: $9 - 6 = 3$ $12 - 9 = 3$

Como la segunda diferencia es constante, la regla general es una cuadrática de la forma $an^2 + bn + c$.

4. Determinar la regla general para la segunda secuencia

Como la segunda diferencia es 3, entonces $2a = 3$, lo que implica $a = \frac{3}{2}$. La regla general es de la forma $\frac{3}{2}n^2 + bn + c$.

Sustituimos $n = 1$ para obtener el primer término, 3: $\frac{3}{2}(1)^2 + b(1) + c = 3$, lo que implica $\frac{3}{2} + b + c = 3$, entonces $b + c = \frac{3}{2}$.

Sustituimos $n = 2$ para obtener el segundo término, 9: $\frac{3}{2}(2)^2 + b(2) + c = 9$, lo que implica $6 + 2b + c = 9$, entonces $2b + c = 3$.

Restamos la primera ecuación de la segunda ecuación: $(2b + c) - (b + c) = 3 - \frac{3}{2}$, lo que implica $b = \frac{3}{2}$. Como $b + c = \frac{3}{2}$, entonces $\frac{3}{2} + c = \frac{3}{2}$, lo que implica $c = 0$.

La regla general para la segunda secuencia es $\frac{3}{2}n^2 + \frac{3}{2}n = \frac{3}{2}(n^2 + n) = \frac{3n(n+1)}{2}$.

Ahora, calculamos el siguiente término ($n = 5$): $\frac{3(5)(5+1)}{2} = \frac{3(5)(6)}{2} = \frac{90}{2} = 45$.

5. Analizar la tercera secuencia: 2, 7, 16, 29, 46

Calculamos las diferencias entre términos consecutivos: $7 - 2 = 5$ $16 - 7 = 9$ $29 - 16 = 13$ $46 - 29 = 17$

Calculamos las diferencias de las diferencias: $9 - 5 = 4$ $13 - 9 = 4$ $17 - 13 = 4$

Como la segunda diferencia es constante, la regla general es una cuadrática de la forma $an^2 + bn + c$.

6. Determinar la regla general para la tercera secuencia

Como la segunda diferencia es 4, entonces $2a = 4$, lo que implica $a = 2$. La regla general es de la forma $2n^2 + bn + c$.

Sustituimos $n = 1$ para obtener el primer término, 2: $2(1)^2 + b(1) + c = 2$, lo que implica $2 + b + c = 2$, entonces $b + c = 0$.

Sustituimos $n = 2$ para obtener el segundo término, 7: $2(2)^2 + b(2) + c = 7$, lo que implica $8 + 2b + c = 7$, entonces $2b + c = -1$.

Restamos la primera ecuación de la segunda ecuación: $(2b + c) - (b + c) = -1 - 0$, lo que implica $b = -1$. Como $b + c = 0$, entonces $-1 + c = 0$, lo que implica $c = 1$.

La regla general para la tercera secuencia es $2n^2 - n + 1$.

Ahora, calculamos el siguiente término ($n = 6$): $2(6)^2 - 6 + 1 = 2(36) - 6 + 1 = 72 - 6 + 1 = 67$.