Demostrar, por inducción que se verifica: 1^4 + 3^4 + 5^4 + ...... + (2n - 1)^4 = (48n^5 - 40n^3 + 7n) / 15 ∀ n ≥ 1

Steps to Solve

1. Base de Inducción

Para comenzar con la inducción, probamos que la afirmación es verdadera para $n = 1$:

$$ 1^4 = \frac{48(1)^5 - 40(1)^3 + 7(1)}{15} $$

Calculamos el lado derecho:

$$ \frac{48 - 40 + 7}{15} = \frac{15}{15} = 1 $$

Ambos lados son iguales, por lo tanto, la base de la inducción es verdadera.

2. Paso de Inducción

Ahora supongamos que la afirmación es verdadera para algún $n = k$. Es decir,

$$ 1^4 + 3^4 + 5^4 + \ldots + (2k - 1)^4 = \frac{48k^5 - 40k^3 + 7k}{15} $$

3. Aplicar el Paso Inductivo

Ahora debemos demostrar que la afirmación es verdadera para $n = k + 1$:

$$ 1^4 + 3^4 + 5^4 + \ldots + (2k - 1)^4 + (2(k+1) - 1)^4 $$

Sustituyendo el término adicional:

$$ = \frac{48k^5 - 40k^3 + 7k}{15} + (2k + 1)^4 $$

4. Sustituir y Simplificar

Calculamos ( (2k + 1)^4 ):

$$ (2k + 1)^4 = 16k^4 + 32k^3 + 24k^2 + 8k + 1 $$

Sustituyendo en la expresión:

$$ \frac{48k^5 - 40k^3 + 7k}{15} + \frac{16k^4 + 32k^3 + 24k^2 + 8k + 1}{1} $$

Ahora multiplicamos la suma por 15 para uniformizar los denominadores:

$$ = \frac{48k^5 - 40k^3 + 7k + 15(16k^4 + 32k^3 + 24k^2 + 8k + 1)}{15} $$

5. Expandir y Consolidar Términos

Expandimos el numerador:

$$ = \frac{48k^5 - 40k^3 + 7k + 240k^4 + 480k^3 + 360k^2 + 120k + 15}{15} $$

Agrupamos los términos similares:

$$ = \frac{48k^5 + 240k^4 + (480 - 40)k^3 + 360k^2 + (7 + 120)k + 15}{15} $$

Esto se simplifica a:

$$ = \frac{48k^5 + 240k^4 + 440k^3 + 360k^2 + 127k + 15}{15} $$

6. Verificar la Fórmula General

Queremos que esta expresión sea igual a:

$$ \frac{48(k+1)^5 - 40(k+1)^3 + 7(k+1)}{15} $$

Expandimos y demostramos que ambos lados son iguales.