Polinomios: Conceptos básicos y operaciones

• Un polinomio es una expresión algebraica con uno o más términos, cada uno siendo el producto de un coeficiente y una variable elevada a una potencia entera no negativa.

Elementos de un polinomio

• Término: Cada sumando en el polinomio.
• Coeficiente: El número que multiplica la variable en cada término.
• Grado: El mayor exponente de la variable en el polinomio.
• Término independiente: El término constante, sin variable.
• En $P(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$, los términos son $3x^3$, $-5x^2$, $2x$, $-7$, los coeficientes son $3$, $-5$, $2$, $-7$, el grado es 3, y el término independiente es -7.

Operaciones con polinomios

• Suma y resta: Se combinan los términos semejantes (misma variable y exponente).
• Multiplicación: Cada término de un polinomio se multiplica por cada término del otro y se simplifican los términos semejantes.
• División: Un proceso similar a la división larga para números.
• $(3x^3 - 5x^2 + 2x - 7) + (x^3 + 4x^2 - 6x + 3) = 4x^3 - x^2 - 4x - 4$
• $(2x - 3)(x^2 + x - 1) = 2x^3 - x^2 - 5x + 3$
• Dividir $x^2 + 3x + 2$ entre $x + 1$ resulta en $x+2$.

Valor numérico de un polinomio

• Es el resultado de sustituir la variable por un número y realizar las operaciones.
• Si $P(x) = x^3 - 2x^2 + x - 5$, entonces $P(2) = -3$.

Raíces de un polinomio

• Estos son los valores de la variable que hacen que el polinomio valga cero.
• Si $P(x) = x^2 - 4$, las raíces son $x = 2$ y $x = -2$.

Factorización de polinomios

• Se expresa un polinomio como el producto de polinomios de menor grado.
• Factor común: $ax + ay = a(x + y)$
• Diferencia de cuadrados: $x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$
• Trinomio cuadrado perfecto: $x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$

Teorema del factor

• Si $a$ es una raíz de $P(x)$, entonces $(x - a)$ es un factor de $P(x)$.
• Si $P(x) = x^2 - 4$ y $x = 2$ es una raíz, entonces $(x - 2)$ es un factor, y $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.

Aplicaciones

• Matemáticas: Modelado de curvas y superficies.
• Física: Descripción de trayectorias y movimientos.
• Ingeniería: Diseño de estructuras y sistemas.
• Economía: Modelado de funciones de costo y beneficio.

Gráfica de un polinomio

• Es una curva suave con puntos de inflexión y cruces con el eje x (raíces).
• La gráfica de $P(x) = x^3 - 3x$ cruza el eje x en $x = -\sqrt{3}$, $x = 0$, y $x = \sqrt{3}$.
• Para graficar, se identifican las raíces, el término independiente y el comportamiento en el infinito.

Este contenido explica los polinomios, incluyendo sus elementos como términos, coeficientes y grado. Se describen operaciones básicas como suma, resta, multiplicación y división de polinomios. Incluye ejemplos para una mejor comprensión.