Nombres à Virgule Flottante et Norme IEEE 754

Nombres à Virgule Flottante

• Représentation informatique des nombres réels.
• En notation scientifique, on trouve un signe, un significande (mantisse) et un exposant.

Norme IEEE 754

• Établie en 1985 pour standardiser l'arithmétique à virgule flottante.
• Elle a rendu l'arithmétique à virgule flottante plus portable et prévisible.

Format à Virgule Flottante Simple Précision

• Total de 32 bits.
  • 1 bit pour le Signe.
  • 8 bits pour l'Exposant.
  • 23 bits pour la Fraction (Mantisse).

$$ (-1)^{S} \times (1 + Fraction) \times 2^{(Exponent - Bias)} $$

Format à Virgule Flottante Double Précision

• Total de 64 bits.
  • 1 bit pour le Signe.
  • 11 bits pour l'Exposant.
  • 52 bits pour la Fraction (Mantisse).

$$ (-1)^{S} \times (1 + Fraction) \times 2^{(Exponent - Bias)} $$

Ligne Numérique à Virgule Flottante

• La ligne numérique illustre la distribution des nombres à virgule flottante : plus dense près de zéro et plus éparse loin de zéro.
• La ligne comporte NaN (Not a Number), $-\infty$, $-0$, $+0$ et $+\infty$.

Pièges des Virgule Flottante

• Les nombres à virgule flottante ne sont pas exacts à cause du nombre limité de bits, la plupart des nombres réels ne peuvent pas être représentés exactement.
• L'arithmétique à virgule flottante n'est pas associative, l'ordre des opérations importe : (a + b) + c peut différer de a + (b + c).
• La comparaison d'égalité des nombres à virgule flottante est périlleuse, en raison de la représentation inexacte, elle est souvent peu fiable.
  • Il est préférable de vérifier si la différence absolue entre deux nombres est inférieure à une petite valeur (epsilon).

Conversion de -6.75 en Virgule Flottante Simple Précision

1. Conversion de la valeur absolue en binaire : $$ 6.75 = 4 + 2 + 0.5 + 0.25 = 2^{2} + 2^{1} + 2^{-1} + 2^{-2} = 110.11_{2} $$
2. Normalisation : déplacer la virgule pour n'avoir qu'un seul chiffre non nul à gauche. $$ 110.11_{2} = 1.1011_{2} \times 2^{2} $$
3. Détermination du signe, de l'exposant et de la fraction :
   • Le bit de signe est 1 car le nombre est négatif.
   • L'exposant est 2, auquel on ajoute le biais de 127 : $2 + 127 = 129 = 10000001_{2}$.
   • La fraction est la partie à droite de la virgule : $1011_{2}$, complétée par des zéros pour atteindre 23 bits : 10110000000000000000000.
4. Combinaison du signe, de l'exposant et de la fraction :

   1 10000001 10110000000000000000000
   

Représentation Numérique

Fonctions Mathématiques

Nature des Fonctions Mathématiques

• Opérations qui prennent une ou plusieurs entrées, font un calcul et retournent un résultat.
• Exemples : sqrt(), sin(), cos(), tan(), log(), exp().
• Elles sont fournies par les langages de programmation et les bibliothèques mathématiques.
• Elles sont partout : graphisme, apprentissage machine, statistiques, science des données, etc.

Méthodes d'Implémentation

• Approximation par Fonction Polynômiale ou Rationnelle : approximation par polynôme ou fonction rationnelle.
  • Simple à évaluer.
  • Nécessite une sélection rigoureuse des coefficients pour minimiser l'erreur.
• Consultation de Table : stockage de valeurs précalculées dans une table.
  • Rapide pour les petits domaines.
  • Exige beaucoup de mémoire pour les grands avec une haute précision.
• Algorithme CORDIC (Coordinate Rotation Digital Computer) : algorithme itératif utilisant des opérations simples de décalage et d'addition.
  • Utilisable pour diverses fonctions : trigonométriques, hyperboliques et logarithmiques.
• Approximation par Morceaux : approximation par différentes fonctions sur différents intervalles.
  • Permet une haute précision avec une sélection rigoureuse des intervalles et des fonctions.

Série de Taylor

• Représentation d'une fonction comme une somme infinie de termes calculés à partir des dérivées de la fonction en un point.

$$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^{n} $$

• Où :
  • $f(x)$ est la fonction à approximer.
  • $f^{(n)}(a)$ est la nième dérivée de la fonction évaluée au point $a$.
  • $n!$ est la factorielle de $n$.
  • $a$ est le point autour duquel la série est étendue.

Exemple : Série de Taylor pour $e^{x}$ autour de $a = 0$

$$ e^{x} \approx 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{4}}{4!} +... $$

Critères de Choix de la Méthode

• Exigences de Précision.
• Exigences de Performance.
• Contraintes de Mémoire.
• Support Matériel.

Ce document décrit la représentation des nombres réels en informatique, mettant en évidence la norme IEEE 754. Il détaille les formats simple et double précision, expliquant la distribution des nombres sur la ligne numérique.