Introduction al Theoria de Gruppos

Introduction al the theoria de gruppos

• Un gruppo es un insimul $G$ non vacui con un operation binari "*".
• Illo debe satisfacer le proprietates associative, elemento neutre, e elemento inverse.

Definition de Gruppo

• Un gruppo debe satisfacer axiomas de gruppo.
• Axioma A1 (Associative): $\forall a, b, c \in G : (a * b) * c = a * (b * c)$.
• Axioma A2 (Elemento neutre): $\exists e \in G : a * e = e * a = a, \forall a \in G$.
• Axioma A3 (Elemento inverse): $\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G : a * a^{-1} = a^{-1} * a = e$.
• Un gruppo es abelian si $\forall a, b \in G : a * b = b * a$.

Exemplos de Gruppos

• $(\mathbb{Z}, +)$ es un gruppo abelian con "0" como elemento neutre e "-a" como le inverse de "a".
• $(\mathbb{R}, \cdot)$ non es un gruppo proque "0" non ha inverse; $(\mathbb{R} - {0}, \cdot)$ es un gruppo con "1" como elemento neutre e "1/a" como le inverse de "a".
• $S_X$ es le gruppo symmetric de $X$, con composition de functiones como operation. Si $X = {1, 2,..., n}$, alora on denota lo como $S_n$.
• $(\mathbb{Z}_n, +)$ es un gruppo abelian, ubi $[a] + [b] = [a + b]$.
• $\mathbb{Z}_n^* = {[a] \in \mathbb{Z}_n \mid \text{mcd}(a, n) = 1}$; $(\mathbb{Z}_n^*, \cdot)$ es un gruppo abelian con $[a] \cdot [b] = [a \cdot b]$.

Subgruppos

• Un subinsimul $H$ de $G$ es un subgrupo si illo es non vacui, clausurate sub operation e in le existentia del inverse. Ex consequentia, $\forall a, b \in H : a * b^{-1} \in H$.

Exemplos de subgruppos

• ${e}$ e $G$ es subgruppos trivial de $G$.
• $(\mathbb{Z}, +)$ es un subgrupo de $(\mathbb{Q}, +)$, que es un subgrupo de $(\mathbb{R}, +)$.

Proposition

• Si $(G, *)$ es un gruppo e $H$ es un subgrupo de $G$, alora $(H, *)$ es un gruppo.

Capitulo 14. Oscillationes

• Le motion armonic simple es le motion oscillatory sub un function sinusoidal
• Le desplaciamento, velocitate e acceleration seque le functiones sinusoidal.
• Approximation de multe phenomenos natural.

14.1 Simple Harmonic Motion

Definition de Simple Harmonic Motion

• ( F_s ) es le fortia restaurative.
• ( k ) es le constante del primavera.
• ( x ) es le desplaciamento del equilibrio.

Lege de Hooke

• $$F_s = -kx$$

Acceleration

$$ \begin{aligned} ma &= -kx \ a &= -\frac{k}{m}x \end{aligned} $$

• ( \omega^2 = \frac{k}{m} )
• ( \omega ) es le frequentia angular

$$ a = -\omega^2 x $$

Conditiones pro SHM

• Il debe esser un fortia restaurative que age al systema
• Le fortia restaurative debe esser proportional con le displaciamento

Terminologia

• Amplitude ( A ): Desplaciamento maximo del equilibrio.
• Periodo ( T ): Tempore pro un oscillation complete.
• Frequentia ( f ): Numero de oscillationes per unitate de tempore.
• Frequentia Angular ( \omega ): ( \omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T} )

Positiones, Velocitate and Acceleration

• ( A ) es le amplitude
• ( \omega ) es le frequentia angular
• ( t ) es le tempore
• ( \phi ) es le constante de phase

$$ x(t) = A \cos(\omega t + \phi) $$

$$ v(t) = \frac{dx}{dt} = -A\omega \sin(\omega t + \phi) $$

• Velocitate Maximo: ( v_{max} = A\omega )
• Acceleration maximo: ( a_{max} = A\omega^2 )

$$ a(t) = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \cos(\omega t + \phi) = -\omega^2 x(t) $$

Exemplo

• Amplitude ( A = 2.0 \text{ m} )
• Frequentia Angular ( \omega = 3.0 \text{ rad/s} )
• Dado ( x = (2.0 \text{ m}) \cos(3.0t) )

$$ v = -(2.0 \text{ m})(3.0 \text{ rad/s}) \sin(3.0t) = -(6.0 \text{ m/s}) \sin(3.0t) $$

$$ a = -(2.0 \text{ m})(3.0 \text{ rad/s})^2 \cos(3.0t) = -(18 \text{ m/s}^2) \cos(3.0t) $$

14.2 Energia de un Oscillator Harmonic Simple

Energia Potential

$$ U = \frac{1}{2}kx^2 $$

Energia Kinetic

$$ K = \frac{1}{2}mv^2 $$

Energia Total

$$ E = K + U = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2 $$

• Usante ( v = \pm \omega \sqrt{A^2 - x^2} ) e ( \omega^2 = \frac{k}{m} ):

$$ E = \frac{1}{2}kA^2 $$

• Le energia remane constante in SHM
• Le energia transforma inter kinetic e potential

14.3 Le pendulum simple

• Un massa ( m ) suspendite per un corda de longitude ( L ).
• Experientia SHM pro angulos micri.
• Le fortia restaurative es
• Pro micri angulos
• Del momento que $$ F_t = -mg \sin\theta $$ $$ F_t \approx -mg\theta $$ $$ F_t = -\frac{mg}{L}s $$

Frequentia angular e periodo

$$ \begin{aligned} \omega &= \sqrt{\frac{g}{L}} \ T &= 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \end{aligned} $$

• Le periodo es independente del massa
• Le periodo depende del longitude ( L ) e acceleration gravitational ( g )

14.4 Le Oscillator Amortite

Description

• Oscillationes decrease in amplitude trans tempore debite al perdition del energia
• Le perdition del energia es typicamente debite al friction or resistentia del aere

Typos de Amortition

• Subamortite: Systema oscilla con amplitude decrescente.
• Criticamente Amortite: Systema retorna al equilibrio quam rapidemente como possibile sin oscillationar.
• Superamortite: Systema retorna al equilibrio lentemente sin oscillationar.
• Le fortia amortiente es proportional al velocitate

$$ F_d = -bv $$

Equation de Motion

$$ m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx - b\frac{dx}{dt} $$

14.5 Oscillationes Fortiate

• Un oscillator ducidate per un fortia externe.
• Le systema oscilla al frequentia ducente
• Le amplitude es le plus grande quando. Usando formula $\omega = \omega_0$.
  • Usar instrumentos musical e systemas mechanic. Le resonantia pote causar fallo.

Summation de Tabella

Principio de Bernoulli

• Un augmento in le velocitate de un fluido occurre simultaneemente con un decrescentia in le pression.

$$ P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g h = constant $$

Equation

• Ubi:
• ( P ) es le pression static.
• ( \rho ) es densitate.
• ( v ) es le velocitate del fluido.
• ( g ) es le acceleration.
• ( h ) es altitude.

Meter Venturi

• Un meter Venturi usa le principio Bernouilli pro mesurar le rata de fluxo de un fluido in un tubo. Section convergente, un gurgite, e un section divergente.

Como illo functiona

1. Como le fluido flueva trans le section convergente, su velocitate augmenta su pression decrease
2. Le pression es mesurate in le entrata e le gurgite del Venturi meter
3. Le differentia in pression es usate pro calcular le rata del fluxo del fluido

Equation

$Q = A_1 \sqrt{\frac{2(P_1 - P_2)}{\rho(1 - (A_1/A_2)^2)}}$

• Q = rata del fluxo
• $A_1$ = area transversal del entrata
• $A_2$ = area transversal del gurgite
• $P_1$ = pression al entrata
• $P_2$ = pression al gurgite
• $\rho$ = densitate del fluido
• ( Q ) es le rata del fluxo
• ( A_1 ) es area de section transversal del entrata
• ( A_2 ) es area de section transversal del garganta
• ( P_1 ) es le pression al le entrata
• ( P_2 ) es le pression al le garganta del tubo
• ( \rho ) es le densitate del fluido

Exemplo

• Aqua flueva per un tubo con un diametro 10 cm a un velocitate de 5 m/s. le tubo se restringe a un diametro de 5 cm. Qual es le velocitate del aqua in le section magre del tubo? usando equation de continuitate.
• Solvente pro
• Del quales:
• ( A_1 ) es le area de section transversal large del tubo
• ( A_2 ) es le area de section transversal magre del tubo
• ( V_1 ) es le velocitate lente del aqua in le tubo
• ( V_2 ) es le velocitate rapide del aqua in le tubo

Solution

$$V_2 = \frac{A_1V_1}{A_2} = \frac{\pi (0.05 m)^2 (5 m/s)}{\pi (0.025 m)^2} = 20 m/s$$

Schödinger Equation

• Es le particulos ununda onde?

$$

• \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\Psi(x)}{dx^2} + V(x)\Psi(x) = E\Psi(x) $$
• ( \Psi(x) ) es le function de onda
• ( V(x) ) es le function de energia potential
• ( E ) es le energia
• Equation pro independente de tempore in 3D

$$

• \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \Psi(\overrightarrow{r}) + V(\overrightarrow{r})\Psi(\overrightarrow{r}) = E\Psi(\overrightarrow{r}) $$ $$ \nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} $$
• Operator de Hamiltonian

$$ \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\overrightarrow{r}) $$

• Ergo

$$ \hat{H}\Psi(\overrightarrow{r}) = E\Psi(\overrightarrow{r}) $$

• Numeros quantic.

Numeros quntec

• Equation de Scröginger da a un serie de functiones de onda descripte per $n, l, m_l$.

1. Numero quantic principal

• Que se describe per le nivello de energia del orbital. Plus grande ( n ) es plus grande energia
• Illo descriptor del dimension del orbital. plus grande ( n ) es plus grande dimension.

2. Numero de momento quantum angular (l )

• Que descripe le forma del orbital.
• Omne valor de ( l ) assigna un littera.

3. Numero magnetic Quantum

• Que describ le orientation del orbital.
• Determinar le numeros quantum e orbitales atomic

Numero quantic e orbitales atomic

• Omne valor de ( n, l, m_l ) describi un singule orbital $$l = 1, m_l= -1, 0, 1$$

Visualizar orbitales

• Es spheric in forma. Dimension augmenta cum numero de ( n ) augmento
• Bilobal. ( p_x ), ( p_y ), ( p_z ) que se orientate con axe ( x ), axe ( y ), axes ( z ) respecitve
• Plu complexo in forma, quatro lobos, un haberea duo lobos e anello circa le centro.
• Ha plus complexo ancora in forma.

Statistica descriptive

• Statistica descriptive es un disciplina responsabil pro colliger, organiser, summarisar, e presentar datos. Objectivo fundamental de describer le characteristicas maestro de un collection de datos.

Metodos de descriptiva statistic

• Colligition de datos que collige information ab sondages, esperimentos, reclamos.
• Organisare datos, classificant los per tabulas e structuras.
• Sommarisar de tendentia central ( media ), ( mediana ), ( moda ) e mesuration disperation que se describer per variation standard.variante
• Presentar per graphic e tabular presentationes del datos

Typos de Variabiles

• Qualitative: exprime qualitates.
• Nominale: sin ordine erede.
• Ordinale: ha ordine erede
• Quantitative: expresso valores numeric
• Discrete: valories integre
• Continue: Omne valor intra un limite definite

Numero de mesura trend central

• Media- valor promedio $$ \mu = \frac{\sum_{i=1}^{N} X_i}{N} $$
• Mediciana - partitoes serie de datos in metates equal
• Modifica- valor occurrantia multo frequente

Mensure di variation

• Deviation average describe le dispersione inter punctos de datos cum average valor

$$ \sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N} (X_i - \mu)^2}{N}} $$

• Variancia describi deviation quadratic $$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N} (X_i - \mu)^2}{N}$$
• Spatio. Describer valor ex minimo cum maximo

Visual

• Histogramma graficamente demonstra frequentia inter valores continue date.
• Diagramma de barra visualisar frequentia tra varie categorias qualitative date
• Schema sectorial monstra relation de division equal o equivalent

Functiones

• Le studio statistic se applicant a varie disciplines inter illos: education, sanitate, commercio.

• Dato 1.65 alto se pote:

Appliantes

• Pote esser applicato a education mercato sanitate

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Chimica

Acidita e alcalita

Acidita

• Sapor acito
• ( pH < 7 )
• Reactiones con metallos
• Facilitate conductoritate
• Base contrari
• Exemples es acido chloridrico, suc de citronaic

Basaic

• Gustar amar
• Alcaitar ( ph > 7 )
• sensationes resbalose
• facilitate conducto electronice
• acido contrario
• le application include saponaro e hydrooxide

Illustrando Aciditate et Basas

Scala pH

• Mesura le intensitate in solution del character

Reagent contraire

• Reactio intra acido et base producente sales et aquas. un exemplo del equation

Application

• Inter industrias, cibos, applicationes medicinal
• Measurement de pressione
• Describente pression per volumino

$$ P=\frac{F}{A} $$

• P es pression
• F es fortia
• A es volumino

Standardisate unum de pressura

• Newton per metro quadrat
• Libra quadrat per pulgada

Different typo de pressura

• Pressura absolute describite in scala cum zero
• Pressura gauge se referte a pressura atmospheric ( P_abs = P_gauge + P_atm ) Differentia describinte duo punctos ( P_diff =P_1 - P_2)

Machinio mesura

• Manometre in liquid per mesuras.
• Tubo U mesura nivello tubo in forma de U describinte variation ( P_1 - P_2= \rhog h)
• Inclinometro que mesura tubo que dar melior resolution in legibilitate

Tube de Bourdon

• In curvatura propitionale a variation de pressional

transducer de pression

• converter pressura in signales electronic. applicabile in varietio machinaries

Consideres de measurement

• Mesura de nivellos accurate por resolution, amplitud, tempo responsorial cum condition atmospheric

Formula

• Usar
• ( P ) es le pression del fluido.
• ( p ) es le densitate del fluido.
• ( v ) es le velocitate del fluido.
• ( g ) es le acceleration debite al gravitate.
• ( h ) es le altitude del fluido supra un puncto de referentia.

Application del Principios de Bernoulli

• Ala de Aeroplano. In base de curva rapidemente que fluet con le aeroplano e creante impulsion in volare.
• Vaporiser Que projectar un jeto fin de liquidos cum principiis relative.
• metro Venturi. Che mesura fluent rate intr le tubos que son.
• Camineto Che designatio alte permite ventile.
• Ball in baseball- le effecto en curva.

Exploration del theoria de gruppos in mathematica. Definitiones, axiomas, e exemplos fundamental es presentate. Axiomas de gruppo e gruppo abelian es definite.